Prompt Title: 34224

a) Berechnen Sie $P(|X - \mu| \geq 3\sigma)$:

Wenn $X$ normalverteilt ist mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma^2$, dann gilt:

$P(|X - \mu| \geq k\sigma) = 2\Phi(-k)$

Hier ist $k = 3$. Setzen Sie die Werte in die Formel ein:

$P(|X - \mu| \geq 3\sigma) = 2\Phi(-3)$

Sie können den Wert von $\Phi(-3)$ aus der Standardnormalverteilungstabelle entnehmen oder mit einer Software berechnen.

b) Geben Sie mit Hilfe der Tschebyscheff'schen Ungleichung eine Abschätzung an:

Tschebyscheff'sche Ungleichung lautet:

$P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Hier ist $k = 3$. Setzen Sie die Werte in die Ungleichung ein:

$P(|X - \mu| \geq 3\sigma) \leq \frac{1}{3^2}$

c) Warum unterscheiden sich beide Werte so stark?

Die Tschebyscheff'sche Ungleichung gibt eine allgemeine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert um $k$ Standardabweichungen abweicht. Diese Abschätzung ist jedoch sehr grob und kann großzügig sein. Sie basiert nur auf der Information über die Varianz und nicht auf der spezifischen Verteilungsform.

Die exakte Berechnung $P(|X - \mu| \geq 3\sigma)$ basiert auf der Annahme einer normalen Verteilung und nutzt die spezifischen Eigenschaften dieser Verteilung. Wenn die Verteilung nicht normal ist, kann die Tschebyscheff'sche Ungleichung eine konservative Abschätzung sein.

2. Ein faire Münze wird 1600 Mal geworfen:

Hier handelt es sich um ein binomiales Experiment (Münzwurf) mit $n = 1600$ Versuchen und der Wahrscheinlichkeit $p$ für "Kopf". Die Anzahl der "Kopf"-Ereignisse folgt einer Binomialverteilung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 770 und höchstens 850 Mal "Kopf" erscheint, kann approximiert werden, indem man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert (dies ist aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes gerechtfertigt).

$P(770 \leq X \leq 850) \approx P\left(\frac{770 - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq Z \leq \frac{850 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$

Hier ist $np$ der Erwartungswert und $np(1-p)$ die Varianz der Binomialverteilung. Berechnen Sie die Werte für $Z$ und verwenden Sie die Standardnormalverteilungstabelle oder eine Software, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.