Prompt Title: Simulation équation de transport en Python

Bien sûr, je peux vous aider à trouver une simulation en code Python pour les résolutions analytiques et numériques de l'équation de transport.

L'équation de transport est une équation aux dérivées partielles qui décrit la propagation d'une quantité, telle que la masse, l'énergie ou la quantité de mouvement, dans un milieu. Cette équation est souvent utilisée en physique, en chimie et en ingénierie.

Pour résoudre l'équation de transport, il existe deux méthodes principales: la méthode analytique et la méthode numérique. La méthode analytique donne une solution exacte de l'équation, tandis que la méthode numérique utilise des approximations pour résoudre l'équation.

Voici quelques exemples de simulations en code Python pour résoudre l'équation de transport:

• Pour la méthode analytique, vous pouvez utiliser la bibliothèque sympy pour trouver une solution exacte de l'équation. Voici un exemple de code Python:

perlCopy code
import sympy as sp

x, t = sp.symbols('x t')
u = sp.Function('u')(x, t)

eq = sp.Eq(sp.diff(u, t) + sp.diff(u, x), 0)
sol = sp.pdsolve(eq)

print(sol)

Ce code résout l'équation de transport en une dimension avec la condition initiale u(x, 0) = f(x), où f(x) est une fonction donnée. La solution est donnée sous forme symbolique.

• Pour la méthode numérique, vous pouvez utiliser la méthode des différences finies pour discrétiser l'équation de transport. Voici un exemple de code Python:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Paramètres de la simulation
L = 1.0         # Longueur du domaine
T = 1.0         # Temps final
nx = 100        # Nombre de points de grille en x
nt = 100        # Nombre de points de grille en t
dx = L / (nx-1) # Pas d'espace
dt = T / (nt-1) # Pas de temps
c = 1.0         # Vitesse de propagation

# Condition initiale
def f(x):
    return np.sin(np.pi*x)

# Initialisation de la solution
u = np.zeros((nt,nx))

# Conditions aux limites
u[:,0] = f(np.linspace(0,L,nt))
u[0,:] = f(np.linspace(0,L,nx))

# Boucle temporelle
for n in range(1,nt):
    for i in range(1,nx):
        u[n,i] = u[n-1,i] - c*dt/dx*(u[n-1,i]-u[n-1,i-1])

# Tracé de la solution
plt.imshow(u, origin='lower', extent=[0,L,0,T], aspect='auto')
plt.colorbar()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('t')
plt.show()

Ce code résout l'équation de transport en une dimension avec la condition initiale u(x, 0) = f(x), où f(x) est une fonction donnée. La solution est discrétisée sur une grille de points de grille en x et en t. La méthode des différences finies est utilisée pour approximer la dérivée spatiale et temporelle de l'équation de transport. La solution est tracée sous forme d'une image.

Bien sûr, voici quelques informations supplémentaires sur la résolution de l'équation de transport en Python:

• Pour la méthode numérique, il existe d'autres méthodes que la méthode des différences finies, telles que la méthode des volumes finis et la méthode des éléments finis. Ces méthodes peuvent être implémentées en Python à l'aide de bibliothèques spécialisées, telles que FEniCS et OpenFOAM.

• La résolution de l'équation de transport en deux ou trois dimensions peut être plus complexe que la résolution en une dimension. Cela nécessite une discrétisation de l'équation dans les directions x, y et z, ainsi qu'une condition initiale et des conditions aux limites adaptées à la géométrie du problème.

• En plus de la résolution de l'équation de transport, il peut être intéressant de visualiser la solution sous forme d'animation ou de tracé 3D. Cela peut être réalisé en utilisant les bibliothèques matplotlib et mayavi en Python.

• Enfin, il est important de noter que la résolution de l'équation de transport dépend des paramètres du problème, tels que la vitesse de propagation, la condition initiale et les conditions aux limites. Il est donc important de comprendre les implications physiques de ces paramètres pour interpréter correctement la solution obtenue.