Prompt Title: Trayectorias y colisiones.

Primero, necesitamos clarificar algunas cosas. Para calcular la trayectoria de las canicas necesitamos saber sus condiciones iniciales, es decir, necesitamos conocer los valores de $x$, $y$, $z$, $vx$, $vy$ y $vz$ para cada canica al inicio. Además, necesitamos saber el radio de las canicas para poder determinar cuándo ocurre una colisión.

Para simplificar, vamos a asumir que las canicas se mueven en un espacio sin fricción, por lo que sus velocidades permanecen constantes en el tiempo. Esto significa que la posición de una canica en cualquier instante de tiempo $t$ puede ser calculada como:

Donde $x_0$, $y_0$ y $z_0$ son las posiciones iniciales de la canica.

La colisión ocurre cuando la distancia entre las dos canicas es igual a la suma de sus radios. La distancia entre las dos canicas puede ser calculada usando la fórmula de la distancia euclidiana:

Para encontrar el tiempo de colisión, necesitamos resolver la ecuación $d(t) = R_1 + R_2$, donde $R_1$ y $R_2$ son los radios de las canicas.

Dado que es difícil de visualizar en 3D, nos vamos a limitar a 2D (ignorando la coordenada $z$) para la parte de la gráfica.

Vamos a proceder con dos ejemplos. Para el primero, proporcionaré un conjunto de condiciones iniciales que resultan en una colisión. Para el segundo, proporcionaré un conjunto de condiciones iniciales que no resultan en una colisión.

Ejemplo 1:

• Canica 1: $x_1 = 0$, $y_1 = 0$, $vx_1 = 1$, $vy_1 = 1$, $R_1 = 1$
• Canica 2: $x_2 = 5$, $y_2 = 5$, $vx_2 = -1$, $vy_2 = -1$, $R_2 = 1$

Ejemplo 2:

• Canica 1: $x_1 = 0$, $y_1 = 0$, $vx_1 = 1$, $vy_1 = 0$, $R_1 = 1$
• Canica 2: $x_2 = 5$, $y_2 = 5$, $vx_2 = 0$, $vy_2 = -1$, $R_2 = 1$

Vamos a calcular las trayectorias y los tiempos de colisión para estos ejemplos.