Prompt Title: #1

Для доказательства того, что множество $A^{-1}(S)$ является выпуклым, давайте воспользуемся определением выпуклого множества:

Множество $C$ называется выпуклым, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из $C$ и для любого $\lambda$ в интервале $[0, 1]$, точка $\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2$ также принадлежит $C$.

Для множества $A^{-1}(S)$ это означает, что если $x_1$ и $x_2$ принадлежат $A^{-1}(S)$, то их линейная комбинация $\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2$ также должна принадлежать $A^{-1}(S)$.

Теперь давайте докажем это:

Пусть $x_1$ и $x_2$ принадлежат $A^{-1}(S)$, что означает, что $Ax_1$ и $Ax_2$ принадлежат $S$.

Теперь рассмотрим линейную комбинацию $\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2$, где $\lambda$ - число из интервала $[0, 1]$. Мы хотим доказать, что $A(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2)$ принадлежит $S$, чтобы показать, что $A^{-1}(S)$ является выпуклым.

Используя свойства линейности матриц, мы можем записать:

$A(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) = \lambda Ax_1 + (1 - \lambda)Ax_2$

Поскольку $Ax_1$ и $Ax_2$ принадлежат множеству $S$, и $S$ выпукло, то линейная комбинация $\lambda Ax_1 + (1 - \lambda)Ax_2$ также принадлежит $S$.

Следовательно, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из $A^{-1}(S)$ и для любого $\lambda$ в интервале $[0, 1]$, точка $\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2$ также принадлежит $A^{-1}(S)$. Это соответствует определению выпуклого множества, и мы доказали, что $A^{-1}(S)$ является выпуклым.